GEOMETRIA PIANA N. 81. inoltre acciocchè la (1) sia la secante-comune dei circoli (M) (D) di raggi costanti cb bisognerà che sieno eguali i quadrati delle distanze tangenziali dai due circoli di ciascun punto della secante-comune, e quindi anche del piede delle perpendicolari abbassate sulla (4) dai centri MD, perciò Sostituendo quest' ultima nella (ux+vy)2+2(ux+vy)w—(d2—b2+c2)u2+2duv+ +(c2-b2) v2 si ottiene mediante la x2+yr l'equazione (c2 —b2+d2—r2) v = 2y w, v=2y, u=2(x-d), vale a dire tutte le tangenti del cercato inviluppo sono espresse da [2(x-d), 2y : c2_b2+d2 — r2} e sostituendo nella x2+y2=r2 si ha l'equazione Plucheriana (c2.—b2+d2—r2)2 (u2+v2)+4d(c2—b2+d3—r2)uw+ +4(d2 —r2)w2=0 che essendo del 2.o grado appartiene ad una diattomena. N. 46. GEOMETRIA DELLO SPAZIO. Continuazione dalla pag. 415. Q. 269. N. Ann. Math. nov. 1863, II, Se due superficie si tagliano in una linea di curvatura comune ad entrambe, lungo queste linee esse si tagliano sotto un diedro costante. Questo teorema fu trovato dal deploratissimo nostro collega Maggi due anni prima che fosse pubblicato dal Terquem, egli lo dimostrò in modo semplicissimo, che poscia io riprodussi senza allora ricordare la nota dell' amico; ecco all'incirca il suo ragionamento. Se una curva (c) appartiene ad una superficie ((~)) le rette n normali a questa nei varii punti della (c) sono inviluppate da una curva (b) nel solo caso che la (c) sia linea di curvatura della (()), la (b) dicesi una evoluta della (c). Questa ha infinite evolute (b) (b) ecc., le quali sono linee geodetiche sulla superficie sviluppabile (a), le cui generatrici a sono gli assi della (e), cioè le rette condotte pei centri dei circoli osculatori della (c) perpendicolarmente ai loro piani. Per ciascun punto M della della (c) l'angolo tra la e la a, cioè l'angolo sotto cui la (b) taglia l'asse a corrispondente al punto M è uguale al diedro tra il piano tangenziale alla (()) in M ed il piano osculatore della (c) pure in M. Quando la superficie (a) si sviluppa in un piano, la (b) cui sono tangenti le n n' corrispondenti ai punti M M' M' si n GEOMETRIA DELLO SPAZIO N. 46. sviluppa in una linea retta, e perciò la differenza degli angoli sotto cui essa incontra i due assi infinitamente vicini a a' è uguale all'angolo compreso tra questi, e perciò anche eguale al diedro tra i piani osculatori in M M'. Così anche in due punti qualisivogliano della (c) la differenza dei diedri tra il tangenziale a (σ) e l'osculatore di (c) dipende unicamente dalla natura della curva (c) ; sicchè se la (c) è linea di curvatura di ciascuna delle (()) (()) queste si tagliano in ogni punto sotto il medesimo diedro; ed infatti le due evolute (b) (b) le cui tangenti sono perpendicolari alle (()) (()), si sviluppano in due rette, che formano un dato angolo. La predetta differenza dei diedri tra il tangenziale a ((~~)) e I osculatore di (c) è uguale al complesso della curvatura di tutto il corrispondente arco della curva (g) linea di regresso della superficie sviluppabile (a), intendendo per complesso di curvatura la lunghezza della curva, che sopra una sfera di raggio contiene gli estremi di tutti i raggi paralleli alle tangenti in tutti i punti dell' arco di curva di sui si tratta. Su questo argomento possono consultarsi: Joachimsthal. Per ogni linea di curvatura piana, questo piano incontra sotto angolo costante la superficie. J. Crelle 1846, XXX, N. 25, pag. 347... 350. Liouville. Lungo una linea di curvatura il diedro tra il tangenziale della superficie ed il piano osculatore della curva ha una variazione infinitesima eguale al diedro tra i due piani osculatori. J. Liouville 1846, XI, pag. 87, 88. GEOMETRIA DELLO SPAZIO N. 46. Lebesgue. Se una linea di curvatura è anche geodetica il diedro tra il tangenziale e l' osculatore è sempre retto, e la curva sarà piana. J. Liouville 1846, XI, pag. 336, 337. Bonnet. J. Ec. polytech. 1848, XIX, xxxij, pag. i ... 146. Maggi. Atti Istit. Veneto 13 giugno 1850, I, pag. 64. 0. T. Quest. 269. N. Ann. Terq. 1852, XI, pag. 404. Serret. Compte rendu 21 févr. 1853, XXXVI, pag. 329, J. Liouville avril 1853, XVIII, pag. 143 ... 162. Brioschi, Ann. Tortolini aprile 1853, IV, pag. 129; agosto 1857, VIII, pag. 297. N. 47. LOBATTO. Q. 690. N. Ann. Math. févr. 1864, ав γ Sieno gli angoli che una retta fa colle sue projezioni sui tre piani ortogonali, A la distanza Δ dell' origine delle coordinate della retta, ed a b с le distanze della medesima origine dalle projezioni della retta sopra i tre piani coordinati, sarà A2—a2cos1a + b2cos3ß-+ c2cos2y. Suppongo invece che la retta passi per l'origine delle coordinate ed abbia le equazioni y U i cui coefficienti sieno tali che E2+v2 + (2 = 1, cos'av2 + (giacchè il punto colle coordinate v ha dall'origine la distanza ). Per avere la distanza sarà Δ GEOMETRIA DELLO SPAZIO N. 46. del punto di coordinate เ m n dalla predetta retta osserveremo che tale distanza è posta nel piano che ha l'equazione Ex+vy+ (z={1+ vm+?n il quale passa pel punto ed è perpendicolare alla retta; il punto d'intersezione del piano e della retta ha dall' origine delle coordinate la distanza lum+n, perciò 2 ▲2=l2+m2 + n2—({l+vm+ (n)2 . La projezione della retta sul piano delle y ha l'equazione y-uz 0, e la projezione del punto sullo stesso piano ha le coordinate m n la loro distanza è quindi perciò a'cos'a3m2+v3n3—27vmn; con questa e colle sue due analoghe ricordando che ne dimostrata la proposta formula. +v2+(2=1_rima Serie III, T. X. 10 |